Prvočíslo

Dokážte, že každé prvočíslo päťkou začínajúc, umocnené na druhú mínus jedna, teda p2 - 1 dáva výsledok deliteľný 24.

Pridané 21. október 2003 by Admin

Kategória Hlavolam | 1 komentárAdmin

« Ojazdené pneumatiky ( 115 / 278 ) Rôzne guličky »

Hodnotenie:Nikto ešte nehlasoval.
Počet hlasov:Nikto ešte nehlasoval
Počet zobrazení:Čítalo 6229 ľudí.

Pridaj komentár k hlavolamu


*

*

Nepoužívajte HTML kód. Môžte použiť špeciálne značky.

*
Dva plus päť slovom.

Nech p je prvocislo > 3:
p^2 - 1 = (p + 1)(p - 1)
p je neparne, teda (p + 1) aj (p - 1) su parne, navyse prave jedno z nich je delitelne 4mi. Z neho teda mozem vynat 4 a z druheho 2. Z toho vyplyva, ze cely vyraz je delitelny 8.
Uz len ukazat, ze je delitelny 3: p je prvocislo teda nie je delitelne 3mi tj. mozno ho zapisat bud to ako p = (3x + 1) alebo p = (3x + 2), x je z N > 1. Nech je to p = 3x + 1. Potom vyraz (p + 1)(p - 1) = (3x + 2)3x, co je cislo delitelne 3. Pre p = 3x + 2: (p + 1)(p - 1) = (3x + 3)(3x + 1) = 3(x + 1)(3x + 1) co je opat cislo delitelne 3. Teda vyraz (p + 1)(p - 1) je pre p > 3 prvocislo, delitelny 3mi.
Konecne (p^2 - 1) je delitelne 8mi aj 3mi, co su nesudelitelne cisla. Potom je nutne delitelny aj ich sucinom teda 24.

Pridané 27. júl 2009 04:42:45

WHY